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수학적으로 본 웃는 얼굴과 20대

20대 시절을 돌이켜 보는 사람들은 무슨 생각을 할까? 대개가 대학시절, 군대경험 혹은 결혼을 대비하는 그야말로 완전한 독립체를 준비하는 시절을 반추하면서 웃는 얼굴일까? 아니면 그 반대의 얼굴 일까? 20대의 여러 가지 시행착오는 남은 긴 인생의 거의 대부분을 결정지을지도 모른다. 20대 젊은 때를 아쉬워하는 그런 세대가 아니라면 아마도 이 글을 읽는 독자는 20대 즐거운 대학생활을 하는 학생이 대부분일 것이다. 웃음이 가득한 얼굴을 평생 간직할 수 있다면 그 사람은 20대를 보람차게 보냈다고 얘기해도 틀린 것은 아닐 것이다.

 

웃음이 있는 얼굴! 얼굴에 웃음 가득한 것을 하루에 우리는 몇 번씩 경험할까? 억지로 만드는 웃음이 아니라 자연적으로, 습관적으로 체득한 웃음의 잔영이 남아 있는 나의 얼굴은 수학적으로 어떤 모습이며 어떻게 설명이 가능할까?

 

사람의 얼굴은 대체로 대칭성을 보여 주지만 그 대칭성이 웃는 얼굴을 의미하지는 않는다. 입꼬리가 귀에 걸린다는 표현은 굉장한 즐거움을 의미하고 빙그레 웃음을 짓는다는 것도 순간의 기쁨을 표현하는 것일지도 모르겠다. 이러한 것을 수학적 도구로 표현한다면 아래로 볼록한 2차함수 y=ax²+bx+c가 적당하다. 그것도 폭이 넓은 2차함수 일 것이다. a가 적당히 작은 양수이면 입의 모습은 아래로 볼록한 하현달 모양이고 사람의 코를 표현하기 위해 그 하현달의 최저점 위에 수 2를 길쭉하게 그려 놓도록 하자. 그렇게 하면 어떤 사람의 절반의 웃는 얼굴로 보여 지겠지만 화룡점점의 일환으로 수 2 양 옆에 +를 두 개 그려 넣는다면 더 웃는 모습이 된다. 큰 원으로 +, 길게 그려진 2와 하현달을 포함하는 둥근 얼굴을 그린다면 이젠 영락없는 사람얼굴의 현상이다. 귀는 있어도 좋고 없어도 좋다.

 

조금 확장하여 하현달 모양인 입이 2차 함수가 아닌 어떤 미분가능 함수 f(x)의 일부분이라 생각하면 그 하현달의 최저점은 도함수 f'(x)0이 되는 점 x=a가 된다. 즉 f'(a)=0 이다. 이제 코의 형상인 수 2 와 두 눈의 형상인 +가 역할을 할 차례다. 그 2계 도함수 f''(x)가 x=a에서 f''(a)>0이라는 것을 코를 나타내는 수2와 두 눈의 형상인 +로 설명하자. 코의 형상인 길게 그려진 2는 함수를 2번 미분한다는 것을 의미하고, x=a에서 f''(a)의 부호가 양수라는 것을 반짝이는 두 눈인 +라 한다면 웃는 얼굴은 수학으로 설명이 가능하다.

 

하현달처럼 보이는 함수 f(x)가 그 최저점에서 1차 도함수의 값이 0이고 그 점에서 2차 도함수의 값이 +라면 그 함수는 국소적으로 항상 아래로 볼록한 하현달의 모양을 갖게 된다는 게 수학의 한 이론이다. 이 경우 그래프의 모양은 항상 웃는 얼굴의 입의 모양으로 나타난다. 반대의 경우도 생각할 수 있다. 두 눈의 형상인 +-형상으로 바꾼다면 입의 모양은 위로 볼록한 상현달이 될 것이다. 간단한 그림을 그려 보면 얼굴이 찡그린 모습으로 변한다. 이처럼 입의 모양에 따라 복잡한 함수의 그래프 개형을 쉽게 기억할 수 있겠다.

 

20대에 각고의 노력을 통해 만들어지는 황혼을 바라보는 웃는 얼굴이란 그렇게 만들어 지는 것이다. 길고 긴 인생을 통해 20대는 노력만 들어가는 최저점을 통과하는 시간이고 인생이란 함수 f(x)2번 미분한 함수 f''(x)가 양수가 되는 그러한 시기다. 그렇게만 된다면 항상 웃는 얼굴을 가진 나머지 인생이 그대를 기다리고 있다


김상동 교수

(자연대 수학)



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